曹则贤:从一元二次方程到规范场论 中科院2022跨年科学演讲实录

时间:2022-01-26 01:34来源:未知 作者:admin 点击:

  原标题:曹则贤:从一元二次方程到规范场论 中科院2022跨年科学演讲实录

  2021年12月29日-31日,由中国科学院科学传播局主办,中国科学院物理研究所、抖音承办的“复兴路上的科学力量——中国科学院2022跨年科学演讲”在北京举行。

  12月31日晚19:30,中科院物理所曹则贤研究员现场开讲《从一元二次方程到规范场论》,央视创造传媒艺术副总监王雪纯受邀担任现场主持。

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  (以下内容根据现场速记内容整理,时间仓促,未经主讲人审核,内容难免有误;部分公式受限于微信编辑器,格式可能有不规范之处,敬请谅解)

  尊敬的各位朋友,在讲完了相对论与量子力学之后,我想说我们应该进阶去讲规范场论,但是去年透露这样的一个题目的时候有人说不行,太难了,能不能讲点简单的。

  但是我一想,其实我们学过所有的数学与物理的领域,我实在没想出哪个是简单的,如果大家真认为简单,可能大家误以为小学学过的加减乘除那个简单,我负责任地告诉大家这是一个误解。加法你说学会了,我告诉大家门都没有;我提醒大家一句,乘法在1844年格拉斯曼《扩展的学问》这本书里面,提供了16种不同的乘法。我不知道许多人听过过吗,乘法有这么多种乘法?所以加减乘除要排除,实在太难了。

  所以,如果要挑一个简单的一元二次方程,大家可以看一下题目下面的洋文——“De Equazione Algebrica zur Eichtheorie”前半段是意大利语,后半段是德语,因为一元二次方程后边发展出来的一元三次方程、一元四次方程,都是发生在意大利那个地方,规范场论是来自说德语的地方,就是德国、瑞士与奥地利。我提醒大家注意一下,我们学的物理里面,流体力学、规范场论等产自于一个很小的国家,这个国家叫瑞士,待会儿会给大家讲细节。

  今天这样的讲座,希望花2-3小时时间给大家理清楚从一元二次方程,大家误以为是最基础的地方,如何一路走到规范场论理论物理的天花板。这样安排我的讲座,确实受到我的朋友们的批评,说我讲座的题目特别不友好,为什么我这么不友好呢?我觉得因为我们现在处于一个技术超越神话的时代,而且这也是一个科学已经深入人心的时代。今天的我们尤其我看现在十几岁二十岁的年轻朋友们,我觉得再也不能像我这代人读小学、读中学,读到大学,突然有一天明白自己什么也没学着,这个不可以再有了,我希望我们现在的青少年朋友们,能够早早地接触到真正的学问,接触到深刻的学问。

  今天一个刚上学的小朋友都知道不会科学要被人欺负,今天国家发展过程当中更知道没有掌握最顶尖技术,没有掌握顶尖技术下面深厚的数学物理知识,我们可能要被人欺负的。所以今天我们应该好好学科学。

  提及学科学的时候提醒大家请当真,学习科学的细节、思想、方法、体系,学科学如何构建、如何批判、如何表述,这个过程当中我们可能也要学科学家,我们学科学家什么呢?我们应该学科学家是如何学习与创造的,说句大白话,就是今天真要学习的话,吃鸡腿,不要喝鸡汤。

  所以我提醒我们的中小学教育的时候一定要把这三个基本语言教清楚,不管是纯数学的欧拉公式,这是被誉为人类最美的公式,没有之一,或者库伦公式,元素都是包括阿拉伯数字、拉丁语字母、希腊字母,这些西方科学在明朝、清朝都传入我国,我们曾经试图用汉语写它,大家如果见过用汉语写矩阵组乘法的时候就知道,写了一页你根本不知道这一页是什么东西,极大的阻碍了科学的传播。今天我们人民一定要有一个特别开放的心态,要把所有人类知识都当做自己的。

  刚才说的是最开始的,我们很快要学到最高深的,这里面我一定要提及一位非常受人尊敬的先生,刚过了虚岁诞辰一百周岁。很多人在短视频中都说杨先生最引以为傲的成绩不是1953年获得诺贝尔奖的宇称不守恒,而是1954年的Yang-Mills,这是第一个非阿贝尔规范场论第一篇,什么意思?我待会会讲。我想说的一句话是什么呢?我认为我们对这些科学巨擘如果要想表达稍具一点诚意尊敬的话,请去弄懂他到底做了什么,我相信如果你乐意的话其实是可以做到的。

  所以今天我的报告内容大概就是有这些内容,先聊两句闲话,从一元二次方程开始,接下来是一元三次方程、一元四次方程,到一元五次方程的时候发现不可解了,发现不可解去理解这样一个不可解就会引出很多学问。

  解到一元三次方程就会引进虚数,虚数就有人把它扩展成复数,就是二元数,将来就有人扩展成四元数、八元数,这是数字体系的框架发展。一元五次方程不可解得出一个学问,这个学问叫做群论,有了群论,有了四元数和复数表达,终于有一天我们会发展出规范场论,说从最基础的一元二次方程到这个地方逻辑的链条或者逻辑的台阶,我会给大家讲清楚。

  一句话,我们注意到中小学老师经常会教孩子们说记住知识点,但是知识点如果都是散点的话,是记不住的,知识就像蚂蚱,你得把它串成串就好记了。有一个人说我听不懂,不知道线上朋友是不是有时候三两句听不懂转头就走了,我想说不要担心,请你一定要坚持听完,我都坚持站着讲三个小时,你还不能坚持躺着刷三个小时的手机吗?所以请大家耐心一点,我不敢保证这里的内容你能够听懂,但是我一定努力让你今天听到的东西会对你有启发。这个讲座是人类里面最顶尖的向思想者致敬之旅,内容听不懂没有关系。

  还是回答主持人问的问题,为什么老讲不太友好的课题,为什么讲那么难的数学和物理?这是因为我自己上了快50年的学,我深切感觉到我们应该学一些数学和物理,以及我们作为一个受人尊重的民族,应该努力为人类贡献一点数学和物理。关于这样一个问题,我们建国领袖毛主席1942年在延安文艺座谈会上讲话说的很清楚了,中国人要对世界文明做出自己应有的贡献。

  数学和物理的历史我个人认为主要是由一些天才的头脑创造的,在中国有14亿人口基数,青少年2亿左右,他们中间一定不缺乏特别有天分的青少年。我特别想提醒他们,作为一个很有头脑的青少年尤其是天才,没有创造,天才是不可原谅的,所以我提醒有天分的青少年朋友们,不要浪费你们的天分。

  哪些天才呢?大家学这项人物,比如近代科学之父、物理之父伽利略,牛顿大家都知道,这是科学大神瑞士人欧拉。

  关于数学,数学该学到什么程度呢?或者什么样的人是数学家呢?数学界非常有趣有一个判据,说一个人他如果睡着了,你上去咣当踢他一脚把他弄醒了,问庞加莱引理是什么,他如果说不上来一定不是数学家,他如果说上来,那也不一定是数学家。但是这是一个必要条件,就是一个人睡梦中被踢醒了一定要知道什么是庞加莱引理。

  回顾一下我们上大学学过所谓的那些物理,其实都总结到这些公式里面了,比如这是简单的牛顿第二定律,力学下一步发展就到这个方程,叫做欧拉-拉格朗日方程,再往上到哈密顿-雅可比方程,这样的方程把它改造一下,求波动解的话就会得出量子力学方程。这是电磁学方程,电磁学和量子力学结合将来就会有电动力学。这是第一次工业革命最根本的公式,这叫热力学主方程。理解了这样一个公式才能理解人类第一次工业革命。

  从一元二次方程到规范场论,如果大家没有耐心听的话,只要看这张图就能理解它说的什么。

  从一元二次方程到二次、三次、五次方程这是解方程,解三次方程就会解不下去,就会让你们不得不引入虚数和复数,然后就有了复变函数。接下来就有四元数、八元数,这是数学发展。五次方程不可解就会得出群论,这些数学准备好了以后学物理就简单了,所谓量子力学会用到群论和四元数,学电动力学要用这里面的矢量分析和四元数。

  这里有一个东西叫做微分几何,微分几何和群论学好了以后学相对论就简单了,群论、微分几何、电动力学、量子力学都学会了以后你学规范场论就齐了,这中间逻辑关系是非常清楚的。我再强调一遍,我们之所以当年在大学读研究生读这些课读不懂,是因为他相应需要的数学物理基础都没有教,我们课本有一个特别不好的印象,给人一种误解,就是那一门学问只是这些书本里面的内容,其实不是。

  从一元二次方程到规范场论里面到底有哪些内容呢?大家比较熟悉的一元二次方程,它其实是一个平方项和线性项这两个怎么凑到一起的问题,是二次和一次型怎么加的问题,所以最难理解的问题恰恰是加法,现在你知道做到加法不容易了吧。接下来当有复数的时候,你会发现复数不光是我们学的a+bi,复数可以有七八种不同的表示,这些表示包括四元数都有不同表示,运算法则和表示就出来了。

  当我们用群的语言讨论一个代数方程为什么不可解的这套语言的时候,这个地方涉及到结构和表示,等我们学规范场论的时候发现这不过是微分二次型和一次型,和如何解一元二次方程是一回事,结构上是相同的,这就提示我们学数学、物理不是课堂做几加几,你需要学的是最重要的法则、结构、表示,这些才是数学最威猛的地方,也是让你理解物理和发展出物理的地方。

  第二个要学习交替,交替特别重要,这是三维空间里面的多边形,关于多边形有一个欧拉定理,顶点数V减去边数E,加上面数F,减去体数S,体数S始终等于1,所以这个公式应该是V-E+F=2,其实我把它写成V-E+F-S=1。

  大家看这个地方涉及到的不是减号,还是加号,只是加上一个负的东西,前面的符号是加减始终交替出现,交替这个东西非常重要,而这个地方作为几何对象,几何对象没有顶点数减边数,这个负号是告诉你几何对象有取向。大家想想如果绕着小公园遛一圈,你当时就明确路径有取向,可以顺时针绕,也可以逆时针绕。学几何的时候,几何里面从来没有教大家几何有取向。

  明白这个道理的时候现在开始学方程,许多人以为会,让我们看会到哪。一般的一元二次方程写ax 2 +bx+c=0,这里a、b、c可以是整数,如果不要求a、b、c是整数,其实就应该是这样一个方程,x 2 +bx+c=0,也就是说这里参数只有b、c两个。

  根号下得出b 2 -4c这一项,如果b 2 -4c大于0,开根号,就得出两个根;如果b 2 -4c小于0,我们叫方程无解,就是它不合理,或者说我不懂我不知道该怎么办。这时候许多人会误以为说b 2 -4c根号下是负的,可以利用:

  我们在中学里面学过,老师教过,我想说的是你想多了,人们解一元二次方程的时候遇到根号下是负的,因为不了解,不了解哪个数平方等于负,所以说直接取无解,这是最合理的做法。

  这个地方你会注意到什么呢?注意到这个地方有b2-4c,它是判别式,它到底是什么意思?我们不解具体方程,把求的方程两个根,x1,2要表示成x1+x2和(x1+x2)2-4 x1x2 ,这是什么意思?在解这之前,大家肯定觉得这个方程太简单了,老师也给出解法了。

  我现在告诉你,事情没有那么简单,不仅关于这个方程一般理论一元二次方程你还没有学,就是特殊的挑几个例子,这几个数学你大概都没有学过,解x 2 -x-1=0的方程,这个方程的根等于:

  是白金分割数,和12次转动有关。而人生活的三维物理空间允许准晶的转动就是18、12次。

  随便挑出一个黄金分割数能够有多少内容呢?关于黄金分割数我知道的至少有三本专业的杂志,关于这一个数就有专门三本数学杂志,最早的Fibonacci季刊专门发表有关黄金分割数的内容,这个杂志已经发行了一百多年了,请同学们再想想,你还敢说你会吗?这本杂志你随便看哪页都不懂,而这仅是关于特殊的一元二次方程一个根的故事。

  现在深入研究一下一元二次方程,把一元二次方程改成x 2 -bx+c=0,为什么这么改呢?这是因为这么改的时候x、b和c都可以理解成长度,就可以用几何法研究这个方程了。

  我们用几何法研究方程如上图所示,做一个直径是b的圆,从底下点A做一个切线,就是说c比较短,从c的另一端做一个垂线RT的时候,与圆有两个交点,这就是我们常说的方程有两个根。

  如果c再大一点,使得b 2 -4c=0,垂线RT与圆相切,只有一个接触点,这个方程只有一个根。这个地方又遇着了数学书里面一个错误概念,当b 2 -4c=0的时候,是这个线刚刚搭上去,只有一个交点,汉语把它翻译成相切,不对,这不叫切,这是刚摸着、碰着,而不是切,这就是我们为什么老学不会的问题,这是一个错误的概念。

  现在回到刚才提到的b 2 -4c0的时候是什么样的,说明c比较长,从这里做垂线不与圆相交,刚才说b 2 -4c0没意义,好像有意义了。有人肯定要说怎么错过去叫有意义呢?

  我给你举一个英语课上的例子,什么是错过是有意义的。这是我们常见的表达,我想你。大家还记得英语i miss you,miss就是错过。不管是英语i miss you还是法语Tu me manques,是我错过你,我错过你才想你,错过是有意义的。所以这告诉我们b 2 -4c0是有意义的,但是什么意义,别着急,我们等待接下来的讲解。

  我们看研究x2+bx+c=0这个方程,你会注意到,如果一个方程有两个根的话,永远可以把方程写成(x-x 1)(x- x 2)=0的形式,这才是一元二次方程。那么这个方程的标准形式为x 2 -s 1x+ s 2=0。

  你会发现这里的符号很有意思,就是+、-、+、-,交替出现了,请大家记住交替是重要的东西。由以上可知,x 1 +x 2 =s 1 ,x 1 *x 2 =s 2。我从x1+x2 和x1 *x2,就一定能得出x1 -x2 。有了x1 +x2和x1-x2 ,就可以得出x1、 x2 各自的表达式。于是我们知道一个方程根x1 、x2 应该由它本身来表达——

  这个方程就很有意思了,很多人不明白这个道理,你看我求的方程是两个根,怎么用它本身来表达,你在绕我吗?不对,这个道理我是没弄明白,我发现金融界的人士就明白了,他们用明天可以挣到钱,在今天挣你的钱,这个哲学可重要了。

  用根自身来表示,这是一种哲学的转变,我用要被寻找的根来表示这个根。如果大家再不明白这个道理的话,就是参照一下金融行业人员,他们一直都是这样干的,用他们明天才会拥有的钱,今天来挣你的钱,只有这样的话我们才能理解金融学,我们也才能理解什么是一元二次方程,这些东西没教,不着急,接下来往下说。

  x 2 +bx+c=0,到底是一个什么样的方程呢?其实我们注意到就是x 2 =c1、bx=c2这二者如何叠加和兼容的问题。大家可能会有疑问加法与乘法有什么兼容的问题?比如说数学里面最难的费马大定理,x n +y n =z n ,这就是一个乘法与加法相融的问题。当n大于等于3的时候,你找不出整数x、y、z,使得这样的算式成立。也就是说当n大于等于3的时候,这里面的乘法加法不相容。所以一元二次方程重要的是乘法与加法怎么揉到一起去的问题。

  既然这样的话,我们来看,我们来理解x 2 =c1这个问题,c1这个数只有两种可能,要么是正数,要么是负数。所以我们需要理解的是x 2 等于正负1的问题,你会发现x 2 =1好理解,x 2 =-1算是怎么回事?

  如果x 2 =-1存在的线绝对是两个不联通的世界。这两个世界是怎么回事?或者我们来看物理的看x 2 +bx+c=0这个方程是什么样,我把x理解成距离,x移动b/2,把它改造成x 2 =c1 的问题。然后,两边同除c1 的绝对值,就变成x 2 =1的问题。

  所以,一元二次方程说到底就是要解x 2 =1的问题,也就是说一元二次方程所有的内容,是让你理解加法与乘法怎么凑到一起,当然x 2 =1你理解了,问题就剩下x 2 =-1是怎么回事。

  再看一元三次方程,物理情景很少有,将来大家上到大学物理的时候会求矩阵本征值。比如说发动机怎么转动的,转动惯量问题会有这样的方程,这是一元三次方程。或者说学实际气体的状态方程——Van der Waals方程。

  公式不太好记,我特别反对写数学公式脑子里面没有物理图像,所以我始终记为:

  因为这时候这里面的3、2来自于物理的维度或者量纲,是有物理意义的东西,而不是随便写27,27你觉得可以写成26,不对,他是3的3次方,而这个3是物理的维度。

  这个方程怎么解呢?我们知道x 3 +px+q=0,也就是说有p、q两个自由参数。为什么题目一开始用意大利语呢?因为这些学问一开始都是意大利人先做的,一位意大利人Cardano给出这样的解法,假设我的方程解是:

  这个方程是一元二次方程,而一元二次方程我是会解的。所以我只要解出一元二次方程,我就可以得出来一元三次方程的解。

  这就是一般书上的一元三次方程根的表达式。我们仔细看一下根表达式里面就有故事了。第一,始终是根号套根号的表达;第二,表达式中1,ω,ω 2 是x 3 =1的根。你解一元三次的根要用到x 3 =1的东西,以及根号套根号,这是我们要记住的,里面包含的内容。

  对于x 3 你会发现很有意思,刚才说x2=1很好理解,x 2 =-1是什么还不知道。但是你发现x 3 =1,与x 3 =-1,没有什么隔阂。因为你只要将x替换为-x,这两者就是一回事。所以x 3 =1和x 3 =-1,没带来什么困难,这好像是世界又值得留念了,但是不对,我们继续往下看。

  如果设x=u+v也可以,还是这样的一套方法,就可以得出它的解。这个地方关键要把一元三次方程约化成一元二次方程,所以这个地方有一个关键词是“约化”,就是我们经常讲的你手里有一个问题或者有一个工程,先把它分解任务,先做成不同的单元,以及放到简单的层面上解决了,这就不解决了吗?

  但是问题是这么约化都好使吗?你会发现不太好使,为什么呢?解一元三次方程的时候出事了。大家看解一元三次方程的时候,我们有公式,把具体方程的p、q带进去,经常会遇到根号下等于负,刚才说的解根号下是负的,不合理,不存在,扔了就完了。可是解一元三次方程遇到根号下是负的,麻烦了,为什么?我们不能扔下了。

  我们看这个方程x 3 -15x-4=0,我们都知道,有一个根x=4,分明是有解的。可是将p、q的值代到表达式里面就变成了:

  如果你说根号下是负的不合理,把它扔了,扔了就没有解了,可是你分明看到x=4。

  这怎么办?憋了很久的时间,到了1572年的时候L’Algebra说实在没办法了,就接受它的存在,我们假设他是有意义的,到底什么意义,我们不知道,我们就假设它是有意义。我们闭着眼睛往下算,怎么算呢?

  两项相加抵消后等于4,你看,根出来了。也就是说请大家记住了,我们接受根号下负数这个东西不是我们愿意接受,是它把我们逼得没办法了,万不得已我们才接受下面是负数的存在。

  接下来有人去解一元四次方程,一元四次方程哪儿有呢?倒是航天部门经常遇到,你看椭圆轨道与双曲轨道,前两天大家知道空间站被人碰瓷了。两个轨道相交,始终有四个点,所以求双曲线的交点问题可以得到一元四次方程。

  一元四次方程怎么解,就是硬配平方,假设两边都能配成平方的话,得到一元三次方程的条件,这好办了,一元三次方程我会解了。我解一元三次方程,回头就可以解一元四次方程,这样的话,我们大家都知道了一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程都会解决。

  人稍微有一点成就就怎么样,就膨胀,那人类一定会解五次。所以有人就去解五次方程,但是你如果稍微头脑清晰的话,你应该分析一下刚才的一元四次方程解是怎么行的。这儿出现一个大神Lagrange,他研究一元四次方程的时候发现,假设四个根,x1、x2、x3、x4,可以凑成这样的一个四个表达式,这是对称式:

  而这个表达式,如果我们数学学的多,一定会和中国古人联系在一起,就是我们老祖宗杨辉三角,你发现这里面杨辉三角出现了。

  这个方程就能够倒回来与这个方程距离系数c、d、e联系在一起,我就能解出s1,s2,s3,s4这四个数,与四个根是线性联系的,就可以得出来四个根。也就是说Lagrange从一个体系的角度,看清楚了四次方程为什么能解,以及这个方法到底是什么意思。

  这个大神太厉害了,给我们留下了很多的书,比如说关于代数方程的思考,因为他发现代数方程里面的学问太大了,还有算术研究,还有分析力学请大家记住,这是大学物理系都要学的学问,分析力学又叫Lagrange力学,这本书太经典了,我曾经开玩笑发誓将来有空把它翻译出版了,穿着红色高跟鞋绕物理所跑一圈。

  这本书实在是太经典了,为什么呢?从我们人类历史上从数学与物理角度来说,绝对是大神级的人物。而且也是牛顿之后唯一的一个白纸黑字表达出对牛顿不服气的人。他是这样说的,牛顿当然是最伟大的天才,但是人家也是最幸运的,为什么他是最幸运的?因为构造世界体系这件事情只能干一次。那意思就是如果当初牛顿不干的话,我也把它干出来的,多大点事情。这是白纸黑字有记录,对牛顿不服气的,这是唯一的一个人。

  我们再看一眼一元四次方程的表达式,对称多样性的表达,你看它的符号,比如说表述成“-b+c”“-d+e”,又是正负、正负、负正、负正交替,始终与交替有关系,你用这样的一个四个根来凑别的帮助解的方程的时候,这种结构未来有群的结构。所以Lagrange的工作就是告诉我们,把解方程求方程根的过程变成对方程本身的认识,这是他最伟大的地方。

  四次方程不管怎么着,反正是可以解,因为我现在不知道到底哪个场合会出现一元五次方程,所以我认为一元五次方程怎么解,肯定是人吃饱了撑的的结果。

  努力去解的时候发现不对了,英国人有一个人叫Bring,有能力把一元五次方程的4次方、3次方、2次方项都消了,能表达成x 5 +px+q=0。你如果把x项都消了,这个解就有了,但是这一步根本过不去。

  Euler发现方程写成x 5 -5px 3 +5p 2 x-q=0的形式的时候可以找出一个解,但同样也找不到通解。所以这个事情忙活了100多年的时候,人类有一天突然服气了,一元五次方程是不是没有解?差不多到18世纪末的时候,像法国人Vandermonde与Waring就怀疑了,一元五次方程没有解,或者没有看起来的通解。

  Lagrange拣起这样的思想,才去写代数方程的书,才理解方程的结构,他认为方程可解不可解,找到某种方程根的置换不变的函数。你看这里面又隐含着一个思想,就是我们数学书里面从来没有告诉我们,当我们解一个方程,这个方程有几个不同的根,如果你不知道根等于几的时候,这些根之间都是等价的。比如说方程里面有一个根,一个是4,一个是3,许多人很容易误解4大于3,但是就这个方程本身来说,如果3、4都是这个方程的根,是一样的,是等价,我们没有这个思想。

  你看Lagrange有这样的思想,就认识到代数方程的一般形式就是(x-x 1 )(x-x 2 )…(x-x n )=0,要从他的角度来理解到底有几项的时候这个是有解的。但是你要证明一个方程有解容易,找到一个解就行了,就像证明天鹅不都是白的,你要逮着一只黑的就行了,可是如果你要证明天鹅是白的,你不管逮出多少只天鹅,都不能证明天鹅是白的。所以证明这个方程也是,就是你证明它有解容易,只要搞出一个解就行了,但是证明无根式解就特别难了。

  这个难从理论上研究,发现所有方程形式应该是,连乘的形式,你把它展开这就是Lagrange展开的形式,展开对象就有(-1) i 的问题,i等于奇数的时候等于-1,i等于偶数的时候就等于+1,所以这就是为什么始终有正一负一交替的问题,这也是出现交替群要理解的原因。

  这是一个未知数和根的差,如果把不同的根之间的差乘起来,再平方,这就是所谓的判别式,就是一元二次方程里面学到的两个根值差平方问题,所以把它扩展到一般情况下。扩展到一般情况下,Lagrange突然明白为什么五次方程不可解,为什么?他把一个可能的方程根和x n=1方程的根给做成这样一个组合:

  把这个地方的根,x1、x2、x3互换,看互换以后有多少结果,他发现非常有意思,对于二次方程把2个根有两种互换得出一个值,也就是问题变简单了,这可以解。一元三次方程有3个根,有6种置换,但是只有两个值,就是3变成2了。一元四次方程,4个根有24种置换,但是只能得出3个值,所以也是简化了。

  但是5次方程就麻烦了,5次方程5个根,有120种置换方式,结果得出24种值,事情变复杂了。这个提醒大家有一个非常重要的东西,就是所有的事情比方说某件事情牵扯到数量增加的时候,会逐渐变得复杂。

  讲一个简单的例子,别人请客吃饭你去了,你去了没有问题,人家请你了,你说对不起今天还有一个朋友一起来,也想认识你,说能不能一起来,一般情况下也行,但是带两个朋友,人家咬牙忍了,但是带三个朋友四个朋友一定这事儿不行了。所以对于方程,二次行,三次行,四次行,到五次事情变复杂了,变复杂了就不能解了。

  所以有人开始研究它的不可解理论,1799年意大利人Ruffini写了516页的代数方程理论说不行,但是大家不理他,为什么?因为证明太长了,516页,审别人数学论文这是太苦的一件事情,没有人干。

  1824年挪威人Niels Abel,大家记住这个名字,这个名字非常重要,证明五次代数方程通用根不存在,但是因为他太年轻,没有名气,被人家不得不要求将论文修改简单,最后这个论文才6页,中间就有缝隙,在生前也很难被认可。但是大家都知道了,今天我们有Abel -Ruffini定理,说基于五次以上的一般多元式方程没有根式解,不能表现成根式套根式的解。

  真正解决这个问题的是谁解决的呢?是一个法国的数学家天才叫做伽罗华,他证明了一元五次方程没有解。但是大家看他有多惨,1830年解决这个问题,1832年去世,他这个论文提交法国科学院,被法国大科学家弄丢了,他去世14年的时候他的成果才有人帮他发表出来了。所以作为天才你们一定要有心理准备,要承受这样的命运。

  伽罗华首次提出了“群”(Groupe)这个词儿的概念,并且利用“群”解决这个世界难题,但是“群”为了这个问题一经发明,它将来就不只限于这个问题,“群”将来会在整个数学领域、物理领域有它的作用。

  这个理论出来以后,数学也好,物理也好,有时候就是一层窗户纸,重要的是捅破窗户纸的那个人,窗户纸一旦捅破了,这个理论就会迅速发展。1870年的时候一个法学数学家Camille Jordan就写出了这本很著名的书《论置换与代数方程》,后来欧洲数学家里面年纪轻轻有成就的基本都会读这本书,我甚至有一个建议,这本书一定要进到中学里面成为中学教材。

  我们提到刚才的天才伽罗华,伽罗华1830年解决一元五次方程不可解的问题,请他看出生于哪一年,他出生于1811年,他引入“群”解决问题的时候才19岁,还没有考上大学呢,但是到1834年的时候小伙子因为某些事情要和别人决斗,决斗前一天晚上匆匆忙忙写了一堆乱纸,这是人类文化史上最重要的一页,一堆乱麻。

  用他自己话说是他希望将来有人能够看懂,并且他请求他的弟弟,这些乱纸不要交给法国科学家,交给德国数学家,不要问他们我解的对不对,只要问他们我干的值得不值得。这小伙子给别人决斗,又不会决斗,结果在菜地里被人一下撂倒了,被伤了以后躺在菜地上,第二天早晨他弟弟才找到他。

  除了请别人破解他的乱码,特别著名的就是“我没时间了”,当他弟弟把他送往医院的时候,他说了这句特别伤感的线岁上死去用尽了我所有的勇气,这是一个天才的陨落。

  当然在法来西这个国家也是特别盛产天才,1832年至少陨落了三位天才,都是数学家,第一个是破解了A级黑色罗塞塔石碑的语言学家Champollion,第二个是奠定了群论21岁去世的Galois,第三位是1832年去世的热力学奠基人,写出热力学第一篇文章的 Sadi Carnot。

  关于这个问题我特别有感慨,我想说什么呢?就是如果一块土地长不出天才的土地是尴尬的,但是长出了天才也要敬重,要让天才存在下去。我想说的第二句容不得天才的人群是猥琐的,特别希望我们的社会未来在每一个局域的小环境都能够形成一个容忍我们身边天才成长的小环境,让我们未来的青少年中间能够出现真正的给中华民族带来荣光的天才。

  现在回头看代数方程的事情,代数方程从原先用系数求具体的根,现在变成了系数经对称多项式到根的表达,到研究对称多项式到根的关系的问题,用的就是刚才这位小伙子得出的群论,所以这条理论就叫伽罗华理论。

  但是比较好理解,我给大家念一念,一般n次多项式伽罗华群是置换群Sn,置换群最大的正规子群叫做交替群,交替就很重要了,这样一直做它的最大正规子群一直往下,要求合成列中的指数始终是素数,2、3、5、7、11、13这样的数。如果是这样的数,就称这个方程可解。

  从这个道理可看四次方,它的置换群是12个元素,这儿的A4置换群最大正规子群是四个元素,12÷4=3这是素数,所以这个方程可解。可是如果n大于5就麻烦了,交替群An总是简单的,也就是说它的子群只有一个,元素数等于1,An这个数非常大,是一个偶数,是一个大的偶数,肯定不是素数,证明一元五次方程不可解。没有关系,一般听众不需要知道这些。

  俄罗斯,我作为一个学物理的,学一点点数学的人,这一位特别帅气的大神阿诺尔德是绕不过去的,你看到1963年的时候,人家这样的一个数学大神竟然还研究x 2 +bx+c=0。人家从哪个角度研究的呢?从拓扑学研究,什么叫拓扑学研究呢?他说我现在我当然知道B和C可以当做复数,复数的话是可以表现为平面一点,所以说在平面上选择一点代表B和C的话,那么相应地在另外一个复平面就有两个根x 1 、x2。这个没问题,他说我发现有一个问题,如果我改动一下B。怎么改动呢?就是绕一个小圈子回到原来的地方,那么这个C也改动一点绕到一个地方。那么大家知道这个BC如果有点改动的话,那相应地两个根应该有一点变动,这可以理解,他发现如果我这两个参数绕一个小圈子的时候,这两个根绕一个小圈子也回到自己那个地方,这个比较合理。他说但是如果BC自己绕的圈子大了,发现这边出的是x1变成x2,x2变成x1了,这叫置换。也就是说这个地方的参数,就是这个方程这个系数仅仅是走了一段路,走的路就是离家远了一点,绕的圈子大了一点,造成了两个根之间的置换。他说这个地方可能会告诉我,这个就能提供代数方程的一般理论。

  所以他从这个角度就证明了:一元五次方程为什么不可解呢,就是因为他发现这个两条路径的乘积再倒过来走,倒过来走就相当于回家嘛。就是这样的一个闭合路径,他用这个证明发现一元五次方程的五个根有120个置换,这120个置换就有120×120的这个表达式,叫对易式。他发现120×120个对易式里面有60个还是原来对易的结果,也就是说求这个地方对易的根的时候,要求你的根式套一个根式。可是这60个置换操作,再用60×60去求它的表达式,还是这样表达式。也就是说如果对应根,你用根号下表达的数,外面得再套一层,结果就陷入一个死胡同了。如果这个根要用根号表示的话,就得根号套根号套根号,就套到无穷了。

  这样的话他就证明了一元五次方程的表达式,如果表达成根号套的话,就一定要有无穷多个嵌套,这就证明它不可解。大家看看一点:都说数学家聪明,数学家总是坐在桌子前面冥思苦想,大家看看算120×120个这样的对易表达式,大家想象一下得多辛苦。所以说今天也借此,向我们的社会,尤其向管理科学的领导们指出一个事实:科学家首先是个体力活儿。大家千万别误以为科学家光是聪明,科学家首先是一个体力活儿。

  一元五次方程既然有人说不可解了,当然总有人不服气,说一定是可解的。英国科学家有一个叫杰拉尔的,写论文说一元五次方程一般可解。结果爱尔兰的著名数学家哈密顿给他审这个文章,花了一晚上给出报告说认为这篇方程很聪明,但是没有解。没有解让提交文章的杰拉尔很生气,又写了一篇文章,干脆说我不仅能解一元五次方程,我能解一元任意次方程的解。结果这个论文又交到哈密顿手里审稿了,结果可能把哈密顿给惹着了。结果大家看什么叫神人,什么叫科学家,首先是体力活儿。哈密顿在1836年5月31号这一天,给这位杰拉尔用笔写了124页的长信,这一天用笔写出124页的审稿意见。告诉他你这个方法是错的,是不对的。

  那么为什么哈密顿能够评价这个问题写了124的页长信告诉他这个不对呢?是因为哈密顿本人也研究一元五次方程,也有专门的专著研究一元五次方程。这个哈密顿,叫做威廉·卢云·哈密尔顿,请大家记住,这是我们这个世界上产生的一个最珍贵的名字,这个名字比牛顿这个词儿更珍贵。这是唯一的一个在这个世界上任何一个时刻都有人在输入的名字。就是哈密顿这个姓,是这个世界上任何一个时刻都有人在书写这个名字的,这就是因为他。这也是我们学数学、学物理都绕不过去的一个人。那么这个事情的感慨,就是说一元五次方程不可解,为什么有人还要研究这个问题呢?就是我提醒大家的一件事情:做明知不可能的事情会有大收获。这又让我想起了我们的许多基金申请,赌咒发誓说这个事情可行,这个事情有意义的。好像不对。做明知不可能的事情会有大收获。就是做不可能,你要怎么证明它的不可能,不可能里面往别的方向要蹚出路来,这也是做科学的一个很重要的方式。

  我们既然说一元五次方程没有一般的解,但并不表示一个特殊的一元五次方程没有解。所以说对于一个特殊的方程怎么解,还是要有人在做这件事情。比方说给大家举个例子,这个方程的解表达成这个样子:

  再举个例子,这个方程x 5 =2625x+61500它的解表达成这个事情;

  你看这些具体的解都不容易。还是那句话,请大家一定要记住:当科学家首先它是个体力活儿。

  那么这个地方,同样是解方程,解方程的层次可就不一样了,这个大神来自德国哥廷根的一个大神Felix Klein。他专门的一本书研究一元五次方程,但是他把这个一元五次方程的解和正三角形组成的正二十面体具有五次对称性的这个几何联系在一起了,然后这个尝试就会带出一门新的学问。待会我们会知道,后来当有一天我们的科学家在研究团簇、研究碳60、碳72、碳74的时候,突然发现人家这个学问早就准备了。

  还有人更神,他不仅研究一元五次方程,研究一元六次方程,他研究一元无穷次方程。这是谁呢?就是来自瑞士那个小镇子的欧拉。他研究一元无穷次方程,什么意思呢?他说一元无穷次方程应该表达成这样,f(x)=(1-x/x1)(1-x/x2 )…,一直乘下去。大家看:你取x=x1的线,这就成立了。你看多聪明,我看这个我就感慨我怎么没有想到。

  那么按照刚才的表达式,这个1/x1+1/x2+…+1/xn加起来,就等于我们的方程中一次的x的系数,这个没有问题。他说我现在给你举个例子,举个什么例子呢?由sin√x除以√x,得出的这样一个代数方程,就是1-x/3!+x 2 /5!-x 3 /7!…这就是无穷多次方程了,对不对?无穷多次方程要让它等于0呢,这就是x根。让这样一个sin√x等于0简单,只要√x等于nπ,这个表达式就等于0,也就是说nπ一定是这个方程的解。所以说用这个表达式1/x1+1/x2+…+1/xn呢,就等于-(1/π 2 +1/4π 2 +1/9π 2 +…),就等于x这一项的系数。这一项是1/3!就等于1/6。两边同乘以π,结果就能得出来1/12+1/22+1/32+1/42+…,一直加到无穷大,等于π 2 /6,而这个竟然是著名的巴塞尔问题。他的老家就是巴塞尔。

  请大家记住这个瑞士的小镇巴塞尔,巴塞尔小镇里面诞生了流体力学、刚体力学,和数学上那个吓死人的“贝努里家族”。贝努里家族是我们学数学学物理人的一个噩梦,因为你当写出一个贝努里方程的时候,你不知道这个贝努里是他爷爷是爸爸这一辈还是他孙子这一辈的,你也弄不清他是哪个贝努里。欧拉的爸爸是和贝努里家族交好,他投的是贝努里家族中约翰贝努里的门下,所以才年纪轻轻就成名的。这个点再再地提醒我们大家记住:天才是天生的是没错的,天才的第二步就是一定要遇到好老师。

  那么我想看欧拉,不是我感慨了,很多人都感慨。有一本著名的书就是How Euler did it,就是欧拉到底怎么能干出来这个事的。那么大家都对他解题能力感到惊讶,我想感慨的是真正的大神是敢于直面吓死人的问题。大家想象一下,如果我们给学生布置题目说请试试怎么解一元无穷次方程。肯定教育局说超纲了。这超纲算什么呀,就是说你要解决吓死人的问题、敢于使用不合理的前提,有能力自己发明解决问题的方法与工具,才是真正的学术大神。

  一元五次方程这事说完了,回到我们的一元三次方程√-1的问题。我们现在是被人家像水牛强压着头喝水,接受了√-1,但是既然它有用,它就有合理,它就有存在的价值,那么它就应该有意义。

  我们现在就要理解√-1到底是什么意义。到底是什么意义呢?我们看:首先,你接受了√-1,你发现那个解始终是a+b√-1,和a-b√-1的问题,这俩一直同时存在。你看这两项一加,后边√-1就没了;你把他俩一乘,√-1也没了。这就理解了我们说这俩要“共轭”。共轭是什么意思呢,共轭是说牛的:两头牛用同一个轭,用力就往一个方向去了,这个叫共轭。而共轭是我们数学和物理里面始终会用到的这个词。共轭就是一对变量或一对某某关系的时候,说它们俩是共轭的。共轭的意思就他俩像两头牛一样,要用一个轭才能往一个方向使劲。所以说将来我们这个领导干部配置,将来应该是根据共轭原则,它能用力往一个方向去。能够把各种矛盾,让我别扭的地方能够消除掉。a+b√-1,和a-b√-1受它理解的时候,我们再理解我们方程如果有√2的时候,我们发现就是α+β√2,与α-β√2,他们俩相加相乘也把√2这个让我不舒服的,也能甩掉。共轭它这个意义它是广义的。你看这又给我们带来了新的知识。

  再往下,我们都认识到√-1,是能接受它了,接下来我们怎么也给它取个名字吧。所以到1637年,法国的这位数学家、哲学家、大神:笛卡尔,给他取个名字,说这是个imaginary number,是个虚妄的数,是一个虚无的数,或一个想象的数,所以就有虚数的说法了。到了1777年,起了名字,到这个名字有表达式,又花了140年。欧拉给引进了imaginary的第一个字母i来表示它,说√-1=i。这个√-1=i,我们中国的数学书里面也都是这么教的。对不对呢?不对,因为我们刚才说了:这俩(a+b√-1,和a-b√-1)必须同时存在。这个地方(b左侧)的-1是属于它(√-1)的,这个地方(-)不是减,是它(√-1)的负号。所以说正确的理解应该不是√-1等于i,是√-1等于±i。写成±i也不对,因为有人会把它理解成√-1,既可以等于+i,又可以等于-i。错,是√-1,必须同时等于±i,这才是对的。所以可以理解成√1要同时等于1和-1,√-1要同时等于i和-i,4√-1,要同时等于1、-1、i和-i。这么理解的时候,你将来在数学、在物理应用的时候,你的应用才是对的。

  既然我们接受它了,往前发展这个路就好走了,到1813年的时候高斯就把刚才这个a+ib或者x+iy这个东西,就把他称为复数,就是复杂的数,就因为有这么一种奇怪的东西叫做复杂的数。但是高斯这种人就太厉害了,他那时候竟然能随口说一句,说这种表达成x+iy的这种数,它里面有等级。(z=x+iy)这个是复数,还有比复数更是复数的数,他用拉丁语说:那是十足的阴影之阴影。就是我们今天说,我们学什么东西的时候,求你的心里阴影面积。你看那个时候就有这种表达了:他说这复数里面还有更复杂的数,那是十足的阴影的阴影。高斯这种人我们不说了,我愿意把他比喻成,就是从科学家的角度上说他是大鲸鱼类的。我们都知道有个鲸落的概念:一个鲸鱼如果死了的话,它能够哺育一个小生物圈。高斯遗留下的著作里面,如果大家愿意研究的话,里面随便往前发展一点的话,那都有的是内容。

  所以说,我们现在看高斯。既然我们接受了复数表达式,我们发现复数与复数相加,前边叫实部相加,后边是虚部相加。然后z1乘z2是这个样子:(ac-bd)+i(ad+bc),和z2乘上z1是一样的,这就是我们小朋友在中学学的叫“乘法交换率”。但是到1863年Karl Weierstrass就证明了实数到复数这个地方是两个交换代数的扩展,再也没了。再往后再想有z1z2=z2z1这事是没了,接下来我们会看这种事情。

  我们会发现引入复数之后出事了,什么呢?就是当我们谈a、b这种实数的时候我们经常会比大小,但是当我们谈复数的时候,a+ib和c+id的时候,我们没法说他们俩谁大谁小。这是我们关于数的习惯地比较大小,这事儿就不能干了。这就逼得我们不得不去理解这个东西到底是什么意思。谁跟我们理解呢?还是要用几何法,你用几何你就能理解了。看几何是怎么理解的:这是初中的时候经常有这种题目,给你两个长度a、b,再给你一个夹角α,你给我做一个三角形。这种题目都有。

  大家看如果这个长度是a,这一段是b的话,夹角是在这儿,是和水平面夹角的。如果,大家看,这是夹角α,这个长度是a,那么这个顶点到垂线的距离就是asinα。如果b大于垂线这个距离的话,你画一个圆的话,和它(基线)就有两个交点。这两个交点当作三角形第三点,A、P、B就决定一个三角形。当然了有两个解,这个没问题。可是如果是b要比这个垂线,也就是比asinα短的话,你以它(P)为圆心画个圆呢,就没有焦点了,好像这个三角形就不能画了。结果有人说不对,这个三角形好像还能画。怎么画呢?他说你看这个垂线:那我用这个垂线当作一个直径的话,我画一个圆(绿色虚线)。那我以这一点(P)为圆心,以b为半径画一个圆,和这个圆(绿色虚线)交两点,它也能得出两个三角形,它也是由原来的两个长度和一个夹角决定的三角形,不一样是出题老师的意思吗?但是你会发现有意思了,这个三角形(下图)相对这个三角形(上图)它往上挪了。也就是它提醒了我们大家,当出现√-1这种事情,它意味着是一个和水平面垂直方向的运动,往垂直方向挪了。

  那这让我想起什么呢?√-1这种存在,可能和上下运动有关系。这个就触到知识盲区了。那么有没有这回事呢?你会发现同时有很多人注意到这一点。谁呢?我刚才提到了1832年还陨落了一个大神叫萨迪·卡诺,Sadi Carnot。萨迪卡诺不仅厉害,他们家族将来会出现一个姓庞加莱的。大家不理解为什么卡诺家族会出现一个姓庞加莱的。这是一个据说人类历史上唯一一个什么数学物理都会的。大家知道三体吧,三体就是他(庞加莱)的文章里来的概念,我们不提。将来他的一个侄子是法兰西的总统,卡诺的一个侄子也是法兰西的总统,这一家人太厉害了。那么热力学创始人萨迪卡诺他爹,老卡诺,当年竟然出了一个几何题:说这有一个线段a,在线段上找一点,把这个线段截成两截,这两截乘积等于线段平方的一半。也就是说,我把它写成方程的话就是x(a-x)=a 2 /2,但是这个一元二次方程大家都会解了,解等于a/2+(±ai/2)。ai/2说明这个点就不在这条线上。另外一个法国人比埃就解释,说这就可能意味着这代表这个点不在这根线,就是这个半截到这儿(线段中点)的距离,再往上这么多距离在这个点(X点),这一点(X点)到这一点(线段一端)的距离乘上这一点(X点)到这一点(线段另一端)的距离,就等于这个a 2/2。当然这是直角三角形,大家用几何做法一定就懂这个道理是怎么回事儿。也就是说,现在我们突然认识到ai/2这个东西,它不在你这一条线上,它是在旁边。是个几何意义。

  这是数学史上真实发生的事情,没想到有一天我会在我们的日常生活里也注意到这个事情。我的一位朋友带着他的小女儿,我们知道小孩子嘛,有时候弄不清楚方向,所以这个妈妈就故意训练她。年轻的妈妈就问:你现在在我的左边还是右边?小女孩想了半天,特聪明地来了一句“旁边”。左边、右边这是一个一维的概念;当这个小孩子回答说在旁边的时候,大家知道旁边是什么,饶你一圈的时候,这个回答是对的。这突然告诉我们这是一个从一维空间到二维空间扩展的问题,也就是说复数是一个从一维存在的数,转到二维存在的数。它天然地就可以用来表示二维空间里面的东西。这个例子也告诉我们大家,看见没有,就是数学史上存在真实发生的事情,在今天依然发生在我们的日常生活里面。所以说我希望大家能记住这个故事的时候,就千万别再误以为那些高深数学有多么难,那些高深的数学和我们的生活它的联系可能就是很紧密的,而仅仅是你不知道而已。

  这时候在欧洲挪威有一个工程师韦塞尔Wessel,注意到了复数是可以表述成有方向的线段,其实就是“极坐标”。极坐标在我们中国的古诗里面早就有,极坐标的出现有2000多年了,而笛卡尔坐标,即直角坐标是1600多年出现的,请大家一定要记住。所以在我学数学的过程当中,我误认为极坐标出现的晚,不对,极坐标是最自然的东西。大家记得我们中小学念的诗词:西北望长安,可怜无数山。它指的就是方向+距离。极坐标是特别特别自然的,西北望长安,可怜无数山;方位角+距离。

  这位韦塞尔是一个工程师,他就认识到用复数就可以表示成平面上的一点。这样的话从原点出发就是线段。复数如果表示有方向的线段,突然发现特别有用。大家知道三个线段组成一个三角形是什么条件呢?你看,用复数代表这样一个有方向的线的话,突然就是这么简单的事情,就是:

  也就是说如果这就是原点的话,有方向的线段加上有方向的线段加上有方向的线段,回到原点,这就是三角形。这就是一个三角形的一个不依赖于坐标系的表达,你看这就是所谓的最高深的数学,其实很早很早就有。这个地方我又要提醒大家一句,关于三角形我们上初中就学了,许多人肯定误以为三角形已经早会了。我提醒大家一句,关于三角形的内容太多了,我们在中学教过重心、教过垂心、外心,大家就误认为三角形可能就只有这几个心,我告诉大家三角形里面几何的心最少两万种,你才学三四种,才哪跟哪呢。那许多人肯定不服气,说曹老师你又骗我,说三角形就是画三条边,怎么会有那么多内容呢?你肯定骗人嘛,哪有那么复杂?你看不出这么复杂,是因为你看的角度不对,因为你是从这一点出发,画一条线闭合了,说这个就叫三角形,你觉得没有什么复杂的地方。但是反过来想,假设是这三个随机的线段,随便撒到这个平面上,或者撒到一个空间里,这三个线段碰巧凑成了一个三角形,请问这个条件有多么地难。那么如果你从这个角度来说,突然认识到一个特别难能够达成的事情,它里面一定有特别多的内容。从这个角度你就能明白三角形里面的几何,可不是你我三天两天能学完的。

  现在我们就能理解了,这个复数是一个有方向的线,复数相乘就是这个方向夹角的相加。我们突然发现bi代表的东西如果是平方是负的,大家知道一个线度,所以bi*bi=-b,相当于b转动了180度。转两次是180度,那bi转一次就是转90度。也就是说,如果你用实数表示水平方向的话,那么bi一定表示的是垂直方向,这就告诉我们复数表达的一个平面,就是一个笛卡尔坐标所表征的平面。这个地方我要提醒许多学理论物理的人,为什么我们的复平面和平面不是一回事,因为复平面只能用直角坐标,i代表的是90度的偏转;而一般平面是可以任意两个方向,只要它俩不重合,就能够表征这个平面,这是平面与复平面之间还是有细微差别的地方。

  现在我们来表达复数,复数有多少种表达呢?我们刚才已经学了x+iy;第二种就是极坐标表达,就是说距离和方位角的表达;第三种我们将来会学,有这种rcosθ+irsinθ的表达;第四种就是这种一个模乘上一个相位角eiθ,这个θ就叫phase,相因子,这个就是我们将来通向规范场论的地方。那么还有没有别的表示呢?有,比方说我们可以把a+ib表示成这样的2*2矩阵(a,-b;b,a),这个对角线都是a,这两边的b是-b与b。这样的矩阵的加法和乘法就是复数的加法与乘法。那还有没有表达式或表达矩阵呢?有,有很多,比方说将来你学四元数的时候,可以用四元数来表达复数。哎你不是说四元数比复数更复杂吗,怎么用更复杂的来表达简单的呢?这个地方又牵扯到一个哲学的东西,就是如果我们要用复杂的东西表达简单的的东西,这是一种复杂向简单的回归,或者告诉你简单里面也会内置复杂,有一天你要能学会从高观点下去看简单的问题,你才能看出它的不简单之处。回到比方说刚才的三角形,如果你学的就是在黑板上从一点出发画一个三角形,你永远想象不到它里面有多少内容,但是如果你从高观点,从高维空间说随机的线段它们碰巧粘在一起能够构成三角形的时候,你就能明白它里面包含了多深刻的内容。这也是俄罗斯有一套教材,关于数学物理教材,叫做高观点下有效的xx东西,请家长关注一下这套东西,学会从高观点下去看问题。

  那么我们既然学了复数,复数有什么用?复数的用处太多了,比方说数论里面有一个说法,叫做任意两平方和的乘积必定是两整数的平方和,如果你从数论角度证明的话,这个可难证明了。但是如果用复数的乘法,就是复数乘复数等于复数,复数取模就是平方和,那就等于平方和,这是一个算法,算数,特别简单。举个例子,比方说(2+5i)×(4+3i)=-7+26i,这个意思是(22 +52 )x(42 +32 ),一定等于72+262,特简单,算就完了,有什么好证明的?大家看到没有,高观点下看问题就能够看出它的简单,也可以看出它的不简单。

  那么第二个复数有什么用呢?就是用来证明几何,我们都知道比方说这是一个三角形,从每个顶点到对面中点画这三条中线,然后交一点,这就叫做重心。重心等于什么呢?几何证明可费劲了,但如果用复数表示三个顶点位置的话,重心就等于三个顶点复数的算术平均,(za+zb+zc)/3就完了,哪有那么多事,然后用复数去表达线之间是平行的、垂直的,那就是实部虚部那一乘,到底等不等于0的问题,就特别简单。

  知道我们用复数去做几何,将来同学们如果是敏感的话,天底下将来一定存在一个学问就叫几何代数。学会几何代数那物理表达就更简单了,当然了,你们也一定知道将来还有一个学问反过来叫做代数几何。

  复数的用途太多了,有了复数接下来会有复分析、复几何,等等,各种变换,都是用复数。我们在电磁学里面用复数的时候还是羞答答的,是当做辅助工具,去帮助求积分。而等到量子力学里面用复数就是赤裸裸的,因为学量子力学上来波函数一定是复数,量子力学的语言里面一定用复数。甚至复数不过瘾,待会还有旋量,旋量很多人就不懂了。相对论表达有人误以为是复数,不对,那是一个简化,是约化了的四元数甚至是双四元数,如果你懂这些数的时候再看相对论就会发现数学好简单。

  这个地方我还提醒大家一句,就是关于复数将来会引入旋量,我读过许多量子力学的书里面都会说描述电子这样自旋1/2粒子用到的数学有多么神奇等等,是量子力学的神奇。直到有一天我发现我被他们骗了,在量子力学诞生之前,所有这些描述自旋1/2粒子的数学都发明出来了,只是你不知道而已。你不知道就在那儿糊弄别人,告诉他这个东西多神奇,量子世界多么难以理解,其实那数学早就有了。关于量子力学表达的虚张声势是由这些人不知道数学造成的,那个东西数学早就有,而且特简单。

  接下来故事就有意思了,我们说复数能够表示我们二维平面里面的转动,转动特别好玩,这个复数a±ib就是实数3±1,5±2的一个扩展。这种3±1=(2,4)在一条直线上,a±ib变成平面的扩展,立马就有人说一件事情:不对,我们生活的空间不是二维的,我们生活的空间是三维的,所以如果有一个数能够跟它描述二维空间里面的物理似的,能描述三维空间的物理那多爽呀。所以这就有人想把a±ib这样一个描述二维的数给表示成描述三维的数,这个事儿是谁干的?就是刚才我提到的那个哈密顿,哈密顿想:这样一个数什么复数不复数的,它就是一对数而已,只要它的加法和乘法弄对了,你写成什么样都无所谓,所以请大家记住形式不是重要的,重要的是它的算法,它的加法和乘法是什么样子决定什么叫复数,而不是你把它写成什么样子。

  既然需要一个这样描述三维空间世界的,那我就去发明一个能够描述三维空间转动的代数三重数,(a,b,c)这样的数,我只要找出它的算法,能够表示成三维空间里面的事情不好吗?当然好了,所以这位老先生就开始忙这件事情。刚才我提到这个人的姓名是世界最重要的名字,每一秒钟都有人在输入,我给大家讲一句他的故事这个人有多厉害呢,这个人是他叔叔带大的,叔叔是中学老师,3岁的时候跟他叔叔。叔叔就开始教外语,学了十年,3-13岁学的都是外语,学完了从他老家爱尔兰经过整个欧洲,经过小亚细亚,经过波斯、印度,这一路上所有的语言都学完了。从3-13岁学完了从爱尔兰经过整个欧洲,经小亚细亚、欧洲、波斯的范围,甚至他还会点马来语,就已经学完了。21岁大学没毕业的时候就被聘为了教授和天文台台长。

  我们现在中国学霸这个词儿特别泛滥,请大家对照一下看谁还好意思管自己叫学霸?而且到这一点的时候我特别提醒一句我们的外语学习的问题,我们从幼儿园许多家长就急哄哄地送孩子学英语,结果到博士了还有考博士英语,也就是说为了考英语许多人就能考20多年,这是一个特别浪费时间的事情,不带这么玩儿的。好好想想怎么学习外语的事儿,有空咱们再聊这个事情,今天咱们先聊怎么学数学。

  哈密顿现在要发展出三元数,(a,b,c)这样的三元数,能够表示我们三维空间的物理。那么怎么发展三原数呢?当然简单了,二元数是a+bi,他现在说a+bi后面再+cj;i的平方等于-1,那我要求j平方也等于-1不就完了吗?加法当然没有问题了,我们来看乘法:a+bi-cj如果乘以自己的话,等于没有i项的、有i的项、有j的项,结果出现ij+ji的这一项,这个东西怎么办?他发现如果你要求ij等于0,或者要求ij等于负的ji的话,这项都能抹掉。这一个问题解决了,但是他发现如果这是两个相同的三元数乘积,如果你要算任意两个三元数乘积,或者任意两个三元数模平方乘积的话,它麻烦了。因为什么呢,他发现这样构造的三元数乘积结果永远是四项,就永远多出一项,这个东西不好玩了,所以这个问题他就老解决不了。

  老解决不了大家看出现了一个什么事情?哈密顿从1830年,25岁的时候开始考虑这个问题,结果考虑一段时间放下了,过两天又拿起来,拿起来没有搞定又放下,结果一使劲就考虑了13年,这个问题还没有解决。因为他13岁离开,学完那么多外语,21岁没毕业就是大学教授,30岁封的爵士,所以他的名气太大了,名气太大就会招天下的英才上门讨教。结果在1843年夏天的时候有一个19岁的德国人Eisenstein来拜访他,到英国来看哈密顿,双方进行了亲切友好的谈话,这个谈话没有谈多久把哈密顿吓一跳。哈密顿说这个德国小伙子太聪明了,数学知道太多了,如果我要不赶紧把刚才这13年的事儿干出来的话,估计这个新代数就会被这个德国年轻人先干出来。他说先把别的工作放下来,专心做这件事情,这是6月份的事情。

  1843年10月16号这天下午,哈密顿和他的夫人在沿着爱尔兰运河去开会的路上突然灵光一现,说既然两个三元数乘积永远等于四项,13年没解决这问题,那从一开始就是四项不就完了吗?大家看到没有,这就是一层窗户纸的事情,他能够琢磨13年没有琢磨清楚。老是三项乘积等于四项,那一开始四项不就完了嘛,所以这个数一开始就是a+bi+cj+dk这样一个四元数。这个ijk平方都等于-1,就像原来的i一样。然后它的乘法就是ij=k,jk=i,ki=j,这不就完了吗。所以这位老兄当时想出来了,特别激动,又生怕待会忘了,就从地上摸出一块石头,赶紧把这个公式刻在他路过的那个桥上,生怕忘了,接着去开会去,会上就告诉他科学院的同事们说我刚才想到了这个问题,下周来给大家报告。这座桥就是爱尔兰的Broome桥,世界上最重要的科普基地,因为这座桥上就刻着重要的公式“i 2 =j 2 =k 2 =ijk=-1”,这是人类史上最重要的,因为1843年10月16号下午,这都是有点的这样一个创造。

  这个创造出来以后就很有意思了,这个四元数乘上四元数还等于四元数,四元数乘出来虽然都还是四元数,大家看到没有,表达式特别复杂,既然表达那么复杂那么长,那么麻烦,这就是一种危机。这是我们常说的一句话,危机意味着机会,对不对。因为乘法太长了以后,逼的这个人不得不对这样一个表达式做简化,要提出新概念,要把四元数表示成两个部分的和q=r+v,前面这个东西他管它叫做标量,后面三个加在一起他管它叫矢量。也就是说我们今天在数学在物理里面学了那么长时间矢量标量,我们一头雾水的东西,其实是四元数的两部分。

  知道这样一个矢量和这样一个标量,它们俩的相加、乘积就引出了这个乘积的表达式:这就是两个矢量的点乘、叉乘,这就是我们读研究生、读大学的时候电动力学里面的点乘、叉乘的概念。当年我学这个东西是学的一头雾水,而且重要的是不管是在我们的中文课本里面还是西方语言的课本里面,关于矢量这个概念基本定义都是错的。我们汉语的矢就是弓箭,就先天地以为说它像弓箭一样是个有长度、有方向、有箭头的一个量。错,矢量这个意思本身叫vector,叫承载、叫疏运,就是我们雷达车或者如果一条狗,狗身上带跳蚤的那条狗就就叫vector,叫做承载者、携带者。这个vector本身只要满足这种线性的加法和乘法它就叫vector,它可以有长度、有方向,但是它不必须要有长度和有方向,这是重要的。这就是为什么我们,尤其是我当年学电动力学的时候看的那些点乘、叉乘乱七八糟的那一堆公式,老师也不懂,然后我们大家就跟着背,背了过两天又忘了,为什么?就是因为我们根本不知道标量和矢量是四元数两部分,就是满足四元数的加法和乘法。只要知道四元数的乘法,所有这些公式都是自然而然的,根本不需要背。

  这就带出来一个很重要的现象,到底是怎么造出这个现象的,就是电动力学书。大家回忆一下电动力学书,国内用的是郭硕鸿先生的,美国著名的是杰克逊的经典电动力学,它们后面都有两页点乘叉乘这种公式,大家看这个公式记起来是不是特吓人。当年我记这东西也记不住,我考试也不及格,我现在突然想明白一个问题,大家想象一下,一本书后面为什么要列两页公式?那什么意思呢?意思是说它根本没有指望你会,对不对,这本书后面列了两页公式就是让你查的。让你查的意思就是你是不会的,而且你学完我这个课你还是不会。

  可是我们的学生中间有优秀的学生,几年前我在武汉大学做讲座的时候,做完讲座我要到机场,结果有一个男孩子一拉车门坐进来的时候说老师我送你去机场,我和你聊几句。这个学生是哈尔滨人,大二的学生,他就问出了如下这样的一句话。说曹老师我读了杰克逊经典电动力学,我觉得他有问题,但是我不知道是什么问题,你告诉我是什么问题。那我告诉他什么问题呢,就是因为关于这个地方的问题,这一个把标量和矢量分割开来是一个热力学统计物理的奠基人吉布斯,是个美国人。当年到欧洲留学,回来把这两部分给砍断成两截,然后又因为美国后来成为世界科学的中心,流毒甚广,造成一个错误。而且我们大家一定要知道,电动力学要点是讲电流怎么产生电力、产生磁场,所以它研究的是电流,但是电流是线。所以说研究电磁学,研究电流的学问一定要用线的代数,这个词儿叫Linear algebra,我们汉语把它翻译成线性代数,是我们的中国理工科大学都要学的。而这个翻译是完全错误的,因为从线性代数你不知道它是干嘛的。它不是线性代数,它是线的代数。就是说是点的代数到线的代数,到面的代数,这是一个几何的东西。它的几何这个线的代数的数学就是后面的四元数和后面发展的Clifford代数。你把代数弄对了,学问就弄对了。

  这也是又回到回答刚才主持人的问题,就是我为什么去讲这些问题呢?就是因为这些都是我当年学过的,受了很多委屈,我现在发现不是我当年不好好学,是因为那书也不对,那老师也不会。

  现在我们回到四元数的表示,我们看四元数是可以表示成2×2的矩阵的。我们刚才说了复数可以表现成2×2矩阵,四元数也可以表现为2×2矩阵,但是它的每个矩阵元是复数,是a+ib、a-ib这种形式。这是一个2×2的复数矩阵,它里面有几个数呢,abcd四个独立的数,所以我可以把这样一个2×2的矩阵当成一个矢量,它有四个方向的基矢量。这(第一个)基矢量这是单位基矢量不提,这后面这三个基矢量是什么东西?实际上就是我们上大学时候学的Pauli矩阵,量子力学的泡利矩阵。当年我学量子力学的时候就觉得泡利好聪明,他怎么得出这个矩阵。现在我明白了是人家小时候上的课课本里面有,不是泡利发明的、多聪明的,他小时候学的课本里面就有。

  而且我在不同的地方给大家讲过了,泡利上中学的时候有多滋润呢?是因为他爸爸上大学的时候同班同学遇上个大神叫做马赫,他爸爸同学马赫不是大神,但是马赫的爸爸,恩斯特马赫,是数学家、物理学家、哲学家,是大神。当然请大家记住,一个天才一定要长的好看,讨人喜欢,这个泡利就长的特别讨人喜欢,就深受他爸爸的同学的爸爸,恩斯特马赫大神的喜爱。所以这个爷爷级的大神恩斯特马赫能愿意做他的Godfather,做他的干爸。他小时候这位大神指导他,就说最顶级的爱因斯坦想攀都攀不上的大神,恩斯特辅导他。

  等到泡利上中学的时候,马赫说岁数大了,我辅导不了你。结果怎么着呢?从维也纳大学派了一个数学教授维特厄,就是我们上大学学量子场论里有对x和对z的共轭求微分的那个表达式的那个维特厄,去辅导他的初中数学;从维也纳大学又派一个理论物理讲师辅导泡利的物理,这也就是为什么泡利高中毕业进入到慕尼黑大学的时候,慕尼黑大学物理大神索末菲说我可没有啥教你的了,你的水平太高了,就是这个道理。所以说教育这个问题如何提高老师的素质,如何让全社会里面特别有学问的人抽着空利用吃饭时间,或者利用旅游时间多给孩子讲讲课这点太重要了,一定要请大神。这就是四元数。

  接下来如果你把四元数每个虚部写成两个泡利矩阵的积,那么你可以把四元数表达成这个形式:q=a+bσ3σ2+cσ1σ3+dσ2σ1,这就是bi+cj+zk的问题,i就对应了两个泡利矩阵的乘积,也就是说这告诉我们i和j和k它不是一个线方向的东西,它是个面的东西。

  又回到刚才我们说的,我们学代数要学点的代数、线的代数、和面的代数,四元数是面的代数,所以说ijk是面的方向,这个ijk本身构成三维空间的矢量,但他们本身是面的量。这一点我今天竟然遇到一个人,他说他中学的时候老师教右手定则就是ijk乘法右手定则,他觉得别扭了。我再说一句,就是如果你上中学的时候老师教你右手定则你没有觉得哪别扭,那大概你学物理数学就学不出来了,就是那里面明明有问题,你感觉不着,有人是有感觉的。

  那么四元数还能表达什么呢?四元数可以表达4*4实矩阵,abcd都是实矩阵。这种4*4的矩阵,因为又四个独立的数,我也可以当他是四维的矢量,它的基矢量是这四个矩阵:

  你看这四个矩阵想到什么了?这就是我们量子力学的“狄拉克矩阵”,狄拉克矩阵可以由泡利矩阵构造。有人就说狄拉克矩阵是从泡利矩阵里构造的。狄拉克说不对,那是我自己构造的,其实他们俩谁不是自己构造的,都是原来有的。你只要读哈密顿的书,哈密顿的四元数入门里面都有。

  所以到这个时候我特别想说一句感慨,就是我们学物理,尤其是学理论物理为什么感到困难,就是因为我们在开始学之前不知道它所需要的数学,学了之后也不知道人家需要这些数学。所以如果你没学过这些数学,学这些内容就觉得人家好神奇啊,太厉害了。如果你要学过这些数学,你就觉得好自然,它本来就应该是这样子。这就告诉我们大家,学物理一定要有一个习惯,既然选择了学物理,就一定要好好学数学,因为数学是物理的语言。你如果是学物理,不去数学,你会花很多的功夫还不明白,都苦死了。

  那么我们看四元数有什么用,就刚才还是四元数完全平方的问题。就很简单地,就能证明四个整数的平方和和另外四个整数的平方和的乘积还是四个整数的平方和。这是大神欧拉1748年不知道怎么算出来的,可是你用四元数乘积特别简单就能算出来了。我给大家举一个例子,同学们记住这个例子,回去吓唬不会的同学:(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 )(2 2 +3 2 +4 2 +5 2 ),你很轻松地就可以用四元数乘法,就能算出来等于36 2 +6 2 +12 2 +12 2 。就是一个简单的算式。但是你从数论的角度,想得出这个结果,那你就累死了,只有大神能干出来。

  欧拉大神厉害到什么程度呢,我请大家记住,他晚年已经是瞎了,已经完全看不见了,但是他还差不多保持着三天一篇论文的记录。而且最重要的是欧拉现在去世已经230多年了,他的论文整理还没做完呢,想象一下他做出多少成就。所以说,这个地方又是我以前的一个感慨,如果用数论证明特别难,用四元数算的话特别简单,就是一个例题。我特别想说一句,你的累死累活,如果不掌握方法,不过是别人的轻描淡写。尤其是前两天有人算算自己一年挣的钱,再比较一下别人的罚款,说从老祖宗是猴子的时候算,我挣钱都没有人家挣的多。不对,单位时间挣的钱数不对,这就是跟这个一样,层次不对。你如果把它限制在数论层面,这个问题就是个顶天的难题;算成四元数,这就是一个习题。

  那么四元数有什么威力呢?四元数的威力可大了,因为四元数有个很重要的性质,就是q 1 q 2不等于q 1 q 2,也就是说四元数乘积顺序不能颠倒。不能颠倒意味着什么呢?你会发现日常生活里面许多东西是不能颠倒的。比如说早晨起来你是先洗脸还是先刷牙,你发现这个问题好像不太重要,先洗脸后刷牙,或者先刷牙后洗脸都没关系。但是穿鞋与穿袜子好像这个顺序就不能倒,先穿袜子后穿鞋还是先穿鞋后穿袜子,好像这不行。也就是说我们的自然里面是有这种前后顺序不能颠倒的物理过程,如果前后顺序不能颠倒的过程正好有了前后乘法不能颠倒的数,这个数可能就是描述这个物理。比方说转动,前后不能颠倒,四元数就乘法不能颠倒,于是乎你突然认识到,四元数本身是可以用来描述乘法的。而且而这个乘法不是a*b,是先乘一下,然后再还要倒回头的这种乘法,而且最重要的意思是你绕着一个方向转出θ角的时候,对应着是相当于用的是角度为φ的四元数乘积结果。相当于这个矢量,绕着它矢量的这个方向转φ/2角。然后突然你会发现量子力学关于电子自旋的1/2是哪里来的你突然就知道了。

  当年我们学这些东西的时候看日本人J.J.Sakurai的量子力学去描述这个转动。哎,我都神奇死了,我就不懂。我读理论力学的时候,理论力学人用欧拉角描述转动,然后我就一步一步跟,我也跟不会,当时我就直觉觉得它一定是错的。当然我们那时候老师不理你,你要是认为他错了,你题没作对,反正给你不及格。但是多年之后我终于发现它确实是错的,欧拉角描述这个转动,一不能构成群,二不唯一。所以,欧拉角描述三维转动,有工程上能用,但是它不构成学问,而三维转动要用四元数来描述。就是我现在觉得特别有种冲动要找当年的老师再找几分回来,真的不是我不会,是我竟然能认识到那个学问是错的。

  这个地方感慨的是从前的欧拉转动定律的证明特别繁杂,但是用四元数就是简单的乘积。这个地方我的感悟是一个问题为什么复杂,它是由于你看问题的层面低才复杂的,比方说像我这样的科学家做一个课题,需要百八十万块钱的时候这就是一个特别复杂一个了不起的事情,可是从国家科技布局的科技问题,你那一百万算什么钱呀。对吧,你把层面放的足够高的时候,问题就简单了,就没那么复杂。这一点其实是非常重要的一个问题。

  OK,现在我们看四元数作为乘法的问题,我刚才已经提了,格拉斯曼在1844年的这本扩展的学问里已经提供了16种乘法,而同学们你们其实在小学的时候就应该注意到两种不同的乘法。比如说3×4,这就是简单的两个数的乘,可是一个篮子里有3个苹果,2个篮子里面有6个苹果,2×3,前边的“2”就是算符,而不是两个苹果。就后边的3是3个苹果,前边的2是加倍,是操作,是多方一篮子在这儿,它是个动作。你看这些乘法我们小学老师都不跟我们讲,所以说乘法这个事情,有各种各样的乘法,有2×3=6,也有2m×3m等于6m 2 ,也有两个矢量乘法等于点乘+叉乘的方法,也有v’=qvq -1 这种先做q的逆乘上它再乘以它的乘法,这叫共轭的乘法。也就是说世界上乘法有很多很多种,目前为止基本上许多人一辈子乘法就学到这儿(带单位的乘法),许多人学物理的人乘法都没学到这儿(矢量乘法),在这儿说什么能量、物质,其实就是不懂这个公式。懂这个公式,就没那么事情了。

  这就说明什么呢?这就说明乘法这个东西,前边的东西叫算符,后边被乘的东西叫乘法的对象,乘法的对象要发明的,要找着的。我们看复数的乘法,复数乘上复数还等于一个复数,复数乘上一个这样二阶的列,还等于二阶的列,这个二阶的列和复数是可以等价的,所以当年我们做2×2的矩阵,实数矩阵这么乘的时候,好像觉得这俩不是一回事,但是也没觉得怎么不是一回事,因为它(矩阵(x,-y;y,x))与它(二阶列(x,y))可以等价,所以就没觉得有什么事情。可是当我们用四元数乘积的时候突然事情就不对了,因为四元数乘以一个四元数等于一个四元数,四元数乘以两个分量的两阶的东西等于两个两阶的东西,但是这个东西和四元数是不相等的,也就是说这冒出一个崭新的对象,被四元数乘的这个东西有个崭新的对象。这个崭新的对象就是去年得诺贝尔奖的这位大神,特别善于玩的东西叫旋量。也就是我们有四元数之后,近60年之后才找到四元数乘法的对象,叫spinor,叫旋量,花了60年的时间。这个东西就是描述转动,描述粒子自旋性质的数学。我当年学量子力学就被他们说,这是一个多么多么了不得的东西,是量子力学的神奇的东西,其实不对,就是简单的数学。

  这就让我有一个特别重要的感慨,它提醒我知道一个最根本的事实:许多东西不是因为它有你知道它的存在的,是它没有的时候,你才知道它的存在的。比方说很多年轻人,你不知道你恋人对你有多好,或者对你多么有意义。等有一天你失去他的时候,就知道他有意义了。或者像我们中国的古诗里面,我们父母对我们的爱是毫无条件的,所以父母在的时候,你也管不着他们的事。因为他在,所以你不觉得他的存在,可是有一天当他不在的时候,你才突然认识到他存在的意义,所谓我们古诗里面说最悲伤的事情是“子欲养而亲不待”,他不在了你才能知道意义。而且这些对于我们在学问上也是对的。我们作为一个中国人,整天说中文,其实我们对中文的语法、中文的构思,一般人几乎都没有认识。可是如果你跳出去,你如果用另外一种语言说话,用另外一种语言思考,你回头看我们中国语文里面的时候,会发现中国语文里面有很酷的东西。比如说当年法国人要判断罗塞塔石碑上面字的时候,就注意到中国字的特别重要的东西,就是中国字是从鸟兽演化过来重要的过程,就是象形字,光表意,山、水,大家都知道,到有一天发展出既表意又表音,到发展到有一天我们的字不表意只表音。大家听这三个阶段,脑子里想想哪些汉字你能想出来只有图象,图像+音,和只有音的。像玻璃、葡萄是音,放在一起才有意思,像粘,米字旁一个占,它就有意,同时又告诉你音。这都是语言发展过程特殊的东西,你从另外一种语言来看的时候才突然懂得这些东西。

  现在我们看代数的规。